Родился 5 (18) июня 1905 в Санкт-Петербурге. В 1922 по окончании хореографического училища (класс Владимира Пономарёва) в течение тринадцати лет танцевал в труппе Ленинградского государственного академического театра оперы и балета (ныне Мариинский).

В 1935-38 был художественным руководителем Ленинградского Малого академического государственного оперного театра/ МАЛЕГОТа (ныне Михайловский). В 1938 возглавил балетную труппу театра оперы и балета имени С.М. Кирова (Мариинского).

В 1944 получил пост художественного руководителя балетной труппы Большого театра, который «держал» — с небольшими перерывами — в течение двадцати лет (1944-64).

В 1959 организовал первый в стране ансамбль «Балет на льду», руководство которым (1959-64) совмещал со своей деятельностью в театре.

Окончательно попрощавшись с Большим театром, стал художественным руководителем Московского государственного академического хореографического училища (МАХУ). Преподавать начал ещё в 1948 в Государственном институте театрального искусства (ГИТИС), в 1952 получил звание профессора.

Принимал участие в организации хореографической школы в Каире (Египет).

Неоднократно ставил балеты за рубежом: «Сказ о каменном цветке» (Хельсинки, 1961), «Ромео и Джульетта» (Будапешт, 1962), «Жизель» в своей редакции (Белград, 1956, Хельсинки, 1958, София, 1967).

Леонид Лавровский вошел в историю балета как хореограф, зафиксировавший высшее достижение направления «драмбалет», характеризующегося преобладанием драмы над собственно танцевальной составляющей спектакля. Легендой мирового балетного театра стал его балет «Ромео и Джульетта», показанный на первых зарубежных гастролях Большого театра — в Англии в 1956 году, получивший грандиозный приём у публики и вызвавший к жизни другие хореографические интерпретации шекспировской трагедии — Джона Крэнко и Кеннета МакМиллана, находившихся под очевидным влиянием его спектакля.

Из рецензии, опубликованной в газете «Таймс»: «Может ли балет передать поэзию трагедии „Ромео и Джульетта“ без слов Шекспира? Да, может. Спектакль Большого театра <...> представляет собой точный перевод каждого слова Шекспира на язык подлинной поэзии».

Впоследствии, когда эпоха драмбалета стала достоянием истории, хореограф пересмотрел свои взгляды. Поставленная им для хореографического училища «Классическая симфония», также на музыку Сергея Прокофьева, служила уже исключительно Терпсихоре, а не Мельпомене. И тоже до сих пор остаётся востребованным репертуарным балетом.

Умер в Париже, где находился с МАХУ на гастролях, 27 ноября 1967 года. (Гастроли прошли с триумфальным успехом.)

Похоронен на Новодевичьем кладбище.