Один из самых известных композиторов нашего времени, признанный мастер оперного жанра. Творчество Александра Чайковского тем не менее охватывает все основные музыкальные жанры – от академического до «легкого».

Родился в творческой семье. Окончил Центральную музыкальную школу при Московской консерватории им. П.И. Чайковского (класс фортепиано Генриха Нейгауза). В 1972 окончил Московскую консерваторию по специальностям «фортепиано» (класс Льва Наумова) и «композиция» (класс Тихона Хренникова). Совершенствовался в аспирантуре под руководством Т. Н. Хренникова.

С 1976 преподает в Московской консерватории на кафедре сочинения, с 1994 — профессор.
В 2005-2008 занимал пост ректора Санкт-Петербургской государственной консерватории им. Н.А. Римского-Корсакова.

В разное время был секретарем Союза композиторов СССР по работе с творческой молодежью (1985-1990), советником по репертуару Мариинского театра (1993-2002).

С 2003 — художественный руководитель Московской государственной академической филармонии.

Сопредседатель композиторского жюри Всероссийского конкурса сочинений молодых композиторов для симфонического оркестра (в рамках Международного фестиваля актуальной музыки «Другое пространство»). Председатель жюри Международного конкурса молодых композиторов им. Н. Я. Мясковского.

Композитор-резидент Международных фестивалей Bad Kissingen (Германия, 1988), Nova Scotia (Канада, 1995).

Автор более десяти опер и трех балетов.

Специально для Камерного музыкального театра Б. А. Покровского написал оперы «Дедушка смеется» (1976) и «Альтист Данилов» (2012). В 2018 на Камерной сцене им. Б. А. Покровского Большого театра была поставлена опера «Один день Ивана Денисовича» (мировая премьера состоялась в Пермском театре оперы и балета им. П. И. Чайковского в 2009).